Pada tulisan sebelumnya saya sempat menyinggung tentang bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Salah satu contoh bilangan irrasional adalah . Tapi kenapa sih ini
merupakan bilangan irrasional? Memangnya apa buktinya?
Oke, pada
tulisan ini kita akan menjawab pertanyaan tersebut.
Dalam
matematika, pembuktian suatu pernyataan bisa dilakukan dengan beberapa cara.
Salah satunya adalah metode yang dikenal dengan nama Reductio ad Absurdum.
Secara harfiah, metode ini berarti reduksi ke absurditas, alias kemustahilan.
Jadi intinya, dengan metode ini, kita membuktikan kebenaran suatu pernyataan
dengan mengandaikan hal yang sebaliknya. Dan jika kemudian pengandaian
tadi membawa kita menuju hal yang mustahil ataupun suatu kontradiksi,
berarti pengandaian kita salah dan yang benar adalah pernyataan yang ingin
kita buktikan.
Baiklah, di
sini kita akan membuktikan apakah benar bahwa itu
bukan merupakan bilangan rasional, atau dengan kata lain merupakan bilangan
irrasional.
Kita
mulai dari mengandaikan atau menganggap hal sebaliknya yang benar, yaitu merupakan bilangan rasional.
Terus,
memangnya kenapa kalau itu
merupakan bilangan rasional? Nah, kita ingat lagi bahwa bilangan rasional
adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat dan
pembaginya bukan 0. Jadi, kita bisa memisalkan
di mana dan adalah
bilangan bulat dan .
Penting
pula bagi kita untuk mengingat bahwa dan tidak
punya faktor yang sama kecuali , dengan kata lain merupakan pecahan paling sederhana. Mengapa
harus begitu? ... Nanti kita akan melihat bahwa pernyataan ini sangat penting dalam pembuktian kita. Tetapi memangnya boleh yaa mengklaim seperti ini. Jawabnya ya boleh-boleh saja. Toh jika bukan
dalam bentuk paling sederhana, kita dapat menyederhanakannya lagi hingga didapat bentuk paling
sederhana.
Sampai
di sini, kita punya persamaan
Jika
kita kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
Dengan
mengalikan kedua ruas dengan , kita dapatkan
Dari
persamaan (1) di atas, dapat kita simpulkan bahwa merupakan suatu bilangan genap. Perhatikan
bahwa kuadrat dari suatu bilangan ganjil, selalu merupakan bilangan ganjil
(Contohnya , dan seterusnya. Pernyataan ini dapat dibuktikan secara umum, namun tidak saya tuliskan di sini.). Karena itu, jika merupakan bilangan genap, maka pasti
juga bilangan genap. Karena genap,
maka dapat
kita tulis sebagai kali suatu bilangan bulat, kita misalkan .
Nilai ini
kita substitusi ke Persamaan (1),
Jadi, adalah
bilangan genap, dan karena itu juga
merupakan bilangan genap.
Nah,
sampai di sini kita dapatkan bahwa dan keduanya merupakan bilangan genap. Tapi, jika dan sama-sama genap, itu berarti dan memiliki faktor yang sama selain , yaitu . Tentu saja ini bertentangan dengan argumen
kita di awal bahwa dan haruslah tidak punya faktor yang sama selain . Suatu kontradiksi.
Karena pengandaian kita bahwa merupakan
bilangan rasional ternyata membawa kita menuju suatu kontradiksi, maka pengandaian
kita pastilah salah. Maka yang benar adalah bahwa bukan
merupakan bilangan rasional atau
dengan kata lain merupakan bilangan irrasional.
Komentar
Posting Komentar