Mengapa √2 Bukan Bilangan Rasional?

Pada tulisan sebelumnya saya sempat menyinggung tentang bilangan rasional dan bilangan irrasional. Salah satu contoh bilangan irrasional adalah $\sqrt2$. Tapi kenapa sih $\sqrt2$ ini merupakan bilangan irrasional? Memangnya apa buktinya?

Oke, pada tulisan ini kita akan menjawab pertanyaan tersebut.

Dalam matematika, pembuktian suatu pernyataan bisa dilakukan dengan beberapa cara. Salah satunya adalah metode yang dikenal dengan nama Reductio ad Absurdum. Secara harfiah, metode ini berarti reduksi ke absurditas, alias kemustahilan. Jadi intinya, dengan metode ini, kita membuktikan kebenaran suatu pernyataan dengan mengandaikan hal yang sebaliknya. Dan jika kemudian pengandaian tadi membawa kita menuju hal yang mustahil ataupun suatu kontradiksi, berarti pengandaian kita salah dan yang benar adalah pernyataan yang ingin kita buktikan.

Baiklah, di sini kita akan membuktikan apakah benar bahwa $\sqrt2$ itu bukan merupakan bilangan rasional, atau dengan kata lain merupakan bilangan irrasional.

Kita mulai dari mengandaikan atau menganggap hal sebaliknya yang benar, yaitu $\sqrt2$ merupakan bilangan rasional.

Terus, memangnya kenapa kalau $\sqrt2$ itu merupakan bilangan rasional? Nah, kita ingat lagi bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat dan pembaginya bukan 0. Jadi, kita bisa memisalkan

$$\sqrt2=\frac{a}{b}$$

di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dan $b\ne 0$.

Penting pula bagi kita untuk mengingat bahwa $a$ dan $b$ tidak punya faktor yang sama kecuali $1$, dengan kata lain $\frac{a}{b}$ merupakan pecahan paling sederhana. Mengapa harus begitu? ... Nanti kita akan melihat bahwa pernyataan ini sangat penting dalam pembuktian kita. Tetapi memangnya boleh yaa mengklaim seperti ini. Jawabnya ya boleh-boleh saja. Toh jika $\frac{a}{b}$ bukan dalam bentuk paling sederhana, kita dapat menyederhanakannya lagi hingga didapat bentuk paling sederhana.

Sampai di sini, kita punya persamaan

$$\sqrt2 = \frac{a}{b}$$

Jika kita kuadratkan kedua ruas, kita peroleh

$$2= \frac{a^2}{b^2}$$

Dengan mengalikan kedua ruas dengan $b^2$, kita dapatkan

$$2b^2=a^2 \tag{1}$$

Dari persamaan (1) di atas, dapat kita simpulkan bahwa $a^2$ merupakan suatu bilangan genap. Perhatikan bahwa kuadrat dari suatu bilangan ganjil, selalu merupakan bilangan ganjil (Contohnya $1^2=1,3^2=9,5^2=25$, dan seterusnya. Pernyataan ini dapat dibuktikan secara umum, namun tidak saya tuliskan di sini.). Karena itu, jika $a^2$ merupakan bilangan genap, maka $a$ pasti juga bilangan genap. Karena $a$ genap, maka $a$ dapat kita tulis sebagai $2$ kali suatu bilangan bulat, kita misalkan $a=2c$.

Nilai $a$ ini kita substitusi ke Persamaan (1),

$$\begin{aligned} 2b^2&={(2c)}^2\\ 2b^2&=4c^2\\ b^2&=2c^2. \end{aligned}$$

Jadi, $b^2$ adalah bilangan genap, dan karena itu $b$ juga merupakan bilangan genap.

Nah, sampai di sini kita dapatkan bahwa $a$ dan $b$ keduanya merupakan bilangan genap. Tapi, jika $a$ dan $b$ sama-sama genap, itu berarti $a$ dan $b$ memiliki faktor yang sama selain $1$, yaitu $2$. Tentu saja ini bertentangan dengan argumen kita di awal bahwa $a$ dan $b$ haruslah tidak punya faktor yang sama selain $1$. Suatu kontradiksi.

Karena pengandaian kita bahwa $\sqrt2$ merupakan bilangan rasional ternyata membawa kita menuju suatu kontradiksi, maka pengandaian kita pastilah salah. Maka yang benar adalah bahwa $\sqrt2$ bukan merupakan bilangan rasional atau dengan kata lain merupakan bilangan irrasional.