Sistem BIlangan

Dalam matematika, hampir semua pembahasan akan melibatkan konsep yang kita sebut ‘bilangan’. Bilangan itu sendiri merupakan sesuatu yang abstrak, artinya kita tidak bisa melihat langsung apa yang disebut bilangan itu. Apa yang biasa kita lihat sebagai “$1$”, “$0.5$”, “$\sqrt{2}$”, dan sebagainya hanyalah angka-angka atau simbol yang digunakan untuk melambangkan suatu bilangan. Ini seperti kata “apel” bukanlah apel, melainkan hanya simbol yang melambangkan apel itu sendiri.

Nah, itu tadi baru pengantar saja. Apa yang ingin kita bahas di sini ialah berbagai sistem bilangan yang pasti akan selalu kita temui dalam belajar matematika.

Kita mulai dari sistem bilangan paling sederhana, yaitu bilangan asli,

$$1,2,3,4,5,\dots$$

Dengan bilangan asli ini, kita bisa menghitung berapa banyak buku yang kita punya, berapa banyak teman yang kita punya, ataupun ... hmm ... berapa banyak gebetan yang teman kita punya.

Oh, ternyata teman kita tidak punya gebetan, jadi kita perlu bilangan tambahan untuk menandakan hal itu, yaitu 0. Sekarang kita punya sistem bilangan

$$0,1,2,3,4,5,\dots$$

yang biasanya disebut bilangan cacah.

Jika kita tambahkan bilangan negatif, maka kita dapatkan bilangan bulat, yaitu

$$\dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots$$

Nah, kita sudah punya bilangan bulat, tapi apakah cukup untuk menyatakan ukuran suatu benda? Misalnya kita punya tali dengan panjang $1$ m, lalu kita bagi tali itu menjadi dua bagian sama besar. Ternyata kita belum punya bilangan yang bisa menyatakan panjang potongan tali tadi (dalam m). Karena itu, kita perkenalkan ke dalam sistem bilangan kita, bilangan-bilangan yang merupakan pembagian (rasio) dari dua bilangan bulat, seperti

$$\frac{1}{2},\frac{-3}{4},\frac{6}{-5},\frac{9}{3},\frac{11}{1},\text{dan}\frac{0}{7}$$

Jadi, kita bisa membagi bilangan bulat apapun dengan sembarang bilangan bulat, kecuali $0$. Ingat bahwa pembagian dengan $0$ hasilnya tidak terdefinisi. Semua bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat, dengan pembaginya tidak sama dengan $0$, disebut sebagai bilangan rasional.

Sekarang, dengan bilangan rasional, apakah sudah cukup bagi kita untuk menyatakan semua ukuran? Ternyata masih belum. Misalkan kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan panjang kaki-kakinya $1$ satuan.

Maka, menurut Teorema Phytagoras, panjang sisi miringnya adalah $\sqrt{2}$. Ternyata $\sqrt{2}$ ini tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat. Dan masih banyak lagi bilangan-bilangan yang tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat, seperti $\sqrt{3},\sqrt{5},\pi ,\text{dan }e$. Bilangan-bilangan seperti ini disebut sebagai bilangan irrasional.

Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional kita sebut sebagai bilangan riil. Kenapa disebut riil? Karena bilangan ini dapat menyatakan semua ukuran yang ada di dunia nyata.

Misalkan kita punya sebuah garis (lurus) mendatar. Kita tahu dalam matematika bahwa garis adalah kumpulan titik-titik yang dapat memanjang ke dua arah berlawanan. Kemudian, kita ambil satu titik pada garis itu, kita namakan titik asal dan kita tandai dengan $0$. Titik di sebelah kiri titik asal ditandai dengan bilangan negatif dan titik di sebelah kanan ditandai dengan bilangan positif. Nah, Setiap titik pada garis itu punya tepat satu bilangan riil sebagai penandanya, dan setiap bilangan riil hanya menandai tepat satu titik pada garis. Garis ini kita namakan garis bilangan riil.

Apakah bilangan riil sudah mencakup semua bilangan? Ternyata, meskipun bilangan riil sudah cukup untuk menyatakan semua ukuran, masih ada sistem bilangan yang lebih besar lagi, yang disebut bilangan kompleks.

Misalkan kita punya sebuah persamaan kuadrat

$$x^2+2x+2=0$$

Jika kita mencari akar-akar dari persamaan ini, kita dapatkan akar-akarnya adalah

$$-1+\sqrt{-1}\text{ dan }-1-\sqrt{-1}.$$

Tidak ada bilangan riil yang jika dikuadratkan hasilnya  $-1$. Kemudian, diperkenalkanlah konsep bilangan baru yang sering disebut bilangan imajiner. Pada sistem ini, $\sqrt{-1}$ disimbolkan dengan $i$, sehingga akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah

$$-1+i\text{ dan }-1-i.$$

Bilangan-bilangan seperti $-1+i\text{ dan }-1-i$ inilah yang dinamakan bilangan imajiner. Jika kita gabungkan bilangan riil dengan bilangan imajiner, kita dapatkan sistem bilangan kompleks, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $a+bi$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan riil.

Oke, jadi sejauh ini kita sudah punya berbagai sistem bilangan, mulai dari bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, hingga bilangan kompleks. Jika kita buat suatu himpunan bilangan kompleks (notasi: $\mathbb{C}$), maka di dalamnya ada himpunan bilangan riil (notasi: $\mathbb{R}$), di dalamnya lagi ada himpunan bilangan rasional (notasi: $\mathbb{Q}$), lalu ada himpunan bilangan bulat (notasi: $\mathbb{Z}$), dan di dalamnya lagi ada himpunan bilangan asli (notasi: $\mathbb{N}$). Jika kita gambarkan himpunan-himpunan bilangan ini ke dalam suatu diagram, maka akan terlihat seperti berikut.

Referensi:

Purcell, Edwin J., et al, Calculus Ninth Edition.