Setelah sebelumnya kita mengenal definisi perpangkatan, pada tulisan ini kita akan membahas beberapa sifat pada perpangkatan yang akan memudahkan kita dalam melakukan operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat.
Perkalian pada Perpangkatan
Misalkan kita kalikan dua bilangan berpangkat yang memiliki basis yang sama,
Di sini, merupakan bilangan real dan serta merupakan bilangan bulat positif.
Kita coba uraikan dengan definisi menjadi perkalian berulang.
Maka bisa kita lihat hasilnya menjadi perkalian berulang sebanyak , yang sama saja dengan .
Jadi, kita peroleh sifat yang pertama:
Contoh, kecepatan cahaya di ruang hampa adalah sekitar . Maka dalam jangka waktu detik (), jarak yang ditempuh berkas cahaya adalah:
Selanjutnya bagaimana jika kita kalikan dua bilangan berpangkat yang memiliki pangkat yang sama, misalkan
Kita uraikan juga menjadi perkalian berulang, sehingga didapat
Dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif, perkalian di atas bisa kita tulis menjadi
Didapat perkalian berulang sebanyak , yang artinya sama dengan . Kita peroleh sifat yang kedua, yaitu:
Contoh:
Pembagian pada PerpangkatanSetelah perkalian, kita akan lihat bagaimana sifat perpangkatan pada pembagian. Kita mulai dengan membagi suatu bilangan berpangkat dengan bilangan berpangkat lain yang memiliki basis yang sama. Misalkan kita punya
Jika perkalian bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan penjumlahan pangkat-pangkatnya, maka kita bisa menduga bahwa pembagian akan menghasilkan pengurangan pangkat-pangkatnya. Faktanya memang benar demikian. Pembuktiannya adalah sebagai berikut.
Pertama kita asumsikan bahwa , agar merupakan bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa , sehingga
Jadi, kita peroleh sifat ketiga, yaitu:
Untuk contohnya, masih mengenai kecepatan gerak cahay di ruang hampa, yakni . Sementara itu, jarak matahari ke bumi adalah sekitar . Maka, untuk menghitung waktu () yang dibutuhkan cahaya dari matahari untuk sampai ke bumi, kita bagi jarak matahari-bumi () dengan kecepatan cahaya ().
Jadi, waktu yang dibutuhkan cahaya matahari untuk sampai ke bumi adalah sekitar 500 detik (sekitar 8,3 menit).
Berikutnya, kita coba lakukan pembagian bilangan berpangkat dengan pangkat yang sama, . Jika pada perkalian dengan pangkat yang sama, pangkatnya bisa digabung , apakah pada pembagian juga berlaku seperti itu, yakni ?
Dengan menguraikan pangkat menjadi perkalian berulang, kita bisa melihat bahwa dugaan kita memang benar.
Diperoleh sifat yang keempat:
Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Bagaimana jadinya jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan lagi? Misal dipangkatn .
Ingat bahwa perpangkatan merupakan perkalian berulang, sehingga
Kemudian, dengan menggunakan sifat yang pertama, diperoleh
Maka didapat sifat kelima:
Contoh, jika sebuah persegi memiliki panjang rusuk maka luasnya adalah .
Berikut rangkuman dari sifat-sifat perpangkatan yang telah kita bahas.
Komentar
Posting Komentar