Sifat-Sifat Perpangkatan

Setelah sebelumnya kita mengenal definisi perpangkatan, pada tulisan ini kita akan membahas beberapa sifat pada perpangkatan yang akan memudahkan kita dalam melakukan operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat.

Perkalian pada Perpangkatan

Misalkan kita kalikan dua bilangan berpangkat yang memiliki basis yang sama,

$$a^m \times a^n.$$

Di sini, $a$ merupakan bilangan real dan $m$ serta $n$ merupakan bilangan bulat positif.

Kita coba uraikan dengan definisi menjadi perkalian berulang.

$$\begin{matrix}
a^m \times a^n = & \underbrace{a \times a \times \cdots \times a} & \times & \underbrace{a \times a \times \cdots \times a} \\
& \text{sebanyak }m & & \text{sebanyak }n
\end{matrix}$$

Maka bisa kita lihat hasilnya menjadi perkalian berulang $a$ sebanyak $m+n$, yang sama saja dengan $a^{m+n}$.

$$\begin{matrix}
\underbrace{a \times a \times \cdots \times a} & =a^{m+n} \\
\text{sebanyak }m+n & 
\end{matrix}$$

Jadi, kita peroleh sifat yang pertama:

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Contoh, kecepatan cahaya di ruang hampa adalah sekitar $3 \times {10}^{8} \text{ m/s}$. Maka dalam jangka waktu $100$ detik ($10^2 \text{ s}$), jarak yang ditempuh berkas cahaya adalah:
$$3 \times 10^8 \times 10^2 = 3 \times 10^{8+2} = 3 \times 10^{10} \text{ m}.$$

Selanjutnya bagaimana jika kita kalikan dua bilangan berpangkat yang memiliki pangkat yang sama, misalkan
$$a^n \times b^n$$

Kita uraikan juga menjadi perkalian berulang, sehingga didapat
$$\begin{matrix}
a^n \times b^n = & \underbrace{a \times a \times \cdots \times a} & \times & \underbrace{b \times b \times \cdots \times b} \\
 & \text{sebanyak }n & & \text{sebanyak }n
\end{matrix}$$

Dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif, perkalian di atas bisa kita tulis menjadi
$$\begin{matrix}
\underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \times \cdots \times (a \times b)} & = {(a \times b)}^n \\
\text{sebanyak }n
\end{matrix}$$

Didapat perkalian berulang $(a \times b)$ sebanyak $n$, yang artinya sama dengan ${(a \times b)}^n$. Kita peroleh sifat yang kedua, yaitu:
$$a^n \times b^n = {(a \times b)}^n$$

Contoh:
$$2^3 \times 5^3 = {(2 \times 5)}^3 = 10^3.$$

Pembagian pada Perpangkatan

Setelah perkalian, kita akan lihat bagaimana sifat perpangkatan pada pembagian. Kita mulai dengan membagi suatu bilangan berpangkat dengan bilangan berpangkat lain yang memiliki basis yang sama. Misalkan kita punya
$$\frac{a^m}{a^n}$$

Jika perkalian bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan penjumlahan pangkat-pangkatnya, maka kita bisa menduga bahwa pembagian akan menghasilkan pengurangan pangkat-pangkatnya. Faktanya memang benar demikian. Pembuktiannya adalah sebagai berikut.

Pertama kita asumsikan bahwa $m>n$, agar $(m-n)$ merupakan bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa $m=n+(m-n)$, sehingga
$$\frac{a^m}{a^n}=\frac{a^{n+(m-n)}}{a^n}=\frac{a^n \times a^{m-n}}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}\times a^{m-n}=a^{m-n}.$$

Jadi, kita peroleh sifat ketiga, yaitu:
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Untuk contohnya, masih mengenai kecepatan gerak cahay di ruang hampa, yakni $3 \times 10^8 \text{ m/s}$. Sementara itu, jarak matahari ke bumi adalah sekitar $1,5 \times 10^{11} \text{ m}$. Maka, untuk menghitung waktu ($t$) yang dibutuhkan cahaya dari matahari untuk sampai ke bumi, kita bagi jarak matahari-bumi ($s$) dengan kecepatan cahaya ($c$).

$$t=\frac{s}{c}=\frac{1,5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8}=0,5 \times 10^{11-8}=0,5 \times 10^3=500$$

Jadi, waktu yang dibutuhkan cahaya matahari untuk sampai ke bumi adalah sekitar 500 detik (sekitar 8,3 menit).

Berikutnya, kita coba lakukan pembagian bilangan berpangkat dengan pangkat yang sama, $\frac{a^n}{b^n}$. Jika pada perkalian dengan pangkat yang sama, pangkatnya bisa digabung $\left(a^n \times b^n = (a\times b)^n \right)$, apakah pada pembagian juga berlaku seperti itu, yakni $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{n}$?

Dengan menguraikan pangkat menjadi perkalian berulang, kita bisa melihat bahwa dugaan kita memang benar.

$$\frac{a^n}{b^n}=\frac{\begin{matrix}\text{sebanyak }n \\ \overbrace{a \times a \times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{b \times b \times \cdots \times b} \\ \text{sebanyak }n \end{matrix}} = \begin{matrix} \underbrace{\frac{a}{b}\times \frac{a}{b}\times \cdots \times \frac{a}{b}} \\ \text{sebanyak }n \end{matrix} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^{n} $$

Diperoleh sifat yang keempat:

$$\frac{a^n}{b^n}= {\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}$$

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Bagaimana jadinya jika suatu bilangan berpangkat dipangkatkan lagi? Misal $a^n$ dipangkatn $m$.

$${(a^n)}^{m}$$

Ingat bahwa perpangkatan merupakan perkalian berulang, sehingga

$$\begin{matrix}
{(a^n)}^m = & \underbrace{a^n \times a^n \times \cdots \times a^n} \\
& \text{sebanyak }m
\end{matrix}$$

Kemudian, dengan menggunakan sifat yang pertama, diperoleh

$${(a^n)}^m = a^{\begin{matrix} \text{sebanyak }m \\ \overbrace{n+n+\cdots +n} \end{matrix}} = a^{m \times n} $$

Maka didapat sifat kelima:

$${(a^n)}^{m} = a^{m \times n} $$

Contoh, jika sebuah persegi memiliki panjang rusuk $10^3 \text{ m}$ maka luasnya adalah ${(10^3)}^2 = 10^{2 \times 3} = 10^6 \text{ m}^2$.

Berikut rangkuman dari sifat-sifat perpangkatan yang telah kita bahas.