Langsung ke konten utama

Identitas Trigonometri (bagian 2)

Sebagaimana sudah dijelaskan sebelumnya, fungsi trigonometri itu adalah perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Nah, kalau bicara segitiga siku-siku tentunya tidak afdhol kalau tidak melibatkan rumus/teorema Pythagoras yang terkenal itu. Kalian pastinya masih ingat ya rumus Pythagoras. Misalkan kita punya segitiga siku-siku seperti berikut.

Maka berdasarkan Teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$$a^2 + b^2 = c^2\tag{1}$$

Nah, misalkan kita bagi kedua ruas persamaan di atas dengan $c^2$, maka didapat

$$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}\Leftrightarrow \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2=1.$$

Karena $\frac{a}{c}=\sin{\theta}$ dan $\frac{b}{c}=\cos{\theta}$, maka diperoleh

$$\left(\sin{\theta}\right)^2 + \left(\cos{\theta}\right)^2=1$$

yang biasanya ditulis

$$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1 \tag{2}$$

Oke, sekarang bagaimana kalau kita bagi persamaan (1) dengan $b^2$? Akan kita peroleh

$$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2}=\frac{c^2}{b^2}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2+1=\left(\frac{c}{b}\right)^2.$$

Karena $\frac{a}{b}=\tan{\theta}$ dan $\frac{c}{b}=\sec{\theta}$, maka diperoleh

$$\tan^2{\theta}+1=\sec^2{\theta} \tag{3}$$

Sekarang kita coba bagi persamaan (1) dengan $a^2$, maka akan didapat

$$\frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}\Leftrightarrow 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{c}{a}\right)^2.$$

Karena $\frac{b}{a}=\cot{\theta}$ dan $\frac{c}{a}=\csc{\theta}$, maka diperoleh

$$1+\cot^2{\theta}=\csc^2{\theta} \tag{4}$$

Nah, persamaan (2), (3), dan (4) yang sudah kita peroleh tadi juga merupakan identitas trigonometri. Berikut rangkuman rumusnya.



Komentar