Identitas Trigonometri (bagian 2)

Sebagaimana sudah dijelaskan sebelumnya, fungsi trigonometri itu adalah perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Nah, kalau bicara segitiga siku-siku tentunya tidak afdhol kalau tidak melibatkan rumus/teorema Pythagoras yang terkenal itu. Kalian pastinya masih ingat ya rumus Pythagoras. Misalkan kita punya segitiga siku-siku seperti berikut.

Maka berdasarkan Teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a^2+b^2=c^2\end{array}$$

Nah, misalkan kita bagi kedua ruas persamaan di atas dengan $c^2$, maka didapat

$$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}\iff {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=1.$$

Karena $\frac{a}{c}=\sin \theta$ dan $\frac{b}{c}=\cos \theta$, maka diperoleh

$${(\sin \theta )}^2+{(\cos \theta )}^2=1$$

yang biasanya ditulis

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\end{array}$$

Oke, sekarang bagaimana kalau kita bagi persamaan (1) dengan $b^2$? Akan kita peroleh

$$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2}=\frac{c^2}{b^2}\iff {\left(\frac{a}{b}\right)}^2+1={\left(\frac{c}{b}\right)}^2.$$

Karena $\frac{a}{b}=\tan \theta$ dan $\frac{c}{b}=\sec \theta$, maka diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta \end{array}$$

Sekarang kita coba bagi persamaan (1) dengan $a^2$, maka akan didapat

$$\frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}\iff 1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2={\left(\frac{c}{a}\right)}^2.$$

Karena $\frac{b}{a}=\cot \theta$ dan $\frac{c}{a}=\csc \theta$, maka diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(4)}& 1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta \end{array}$$

Nah, persamaan (2), (3), dan (4) yang sudah kita peroleh tadi juga merupakan identitas trigonometri. Berikut rangkuman rumusnya.